История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить порядок интегрирования, если область интегрирования  .

Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в направлении оси ОУ, т.к. любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает границу области D не более чем двух точках. Первую точку пересечения с линией у=х2 назовем точкой входа, а линию - линией входа, ее уравнение у=х2. Вторую точку пересечения с линией у=2-х назовем точкой выхода, а линию – линией выхода. Тогда повторный интеграл в правой части составлен из двух определенных: первый берется по переменному у, оси которого ОУ параллельны секущие прямые, он называется внутренним. Пределы интегрирования в нем зависят от х и совпадают с ординатами точек пересечения секущих с линией входа (нижний предел) и линией выхода (верхний предел интегрирования). При внутреннем интегрировании переменное х считается постоянным, поэтому его результатом является функция, которая после подстановки пределов интегрирования зависит от х. Второй интеграл по х берется от этой функции по переменному х, а пределы интегрирования в нем равны наименьшему (для нижнего) и наибольшему (для верхнего) значению проекций точек области D на ось ОХ:

 

  При изменении порядка интегрирования линия входа в область D имеет уравнение х=0,  а линия выхода разбивается на две части, одна из которых имеет уравнение , а вторая – уравнение . По свойству аддитивности двойного интеграла он разбивается на два, в каждом их которых сделана замена на повторный с внутренним интегрированием по переменному х, а внешним интегрированием по переменному у:

 

 

Рекуррентная формула

29. .

Справедливость формул таблицы интегралов, не имеющих аналогов в таблице производных, проверяется непосредственно путем дифференцирования их правых частей. Для примера докажем формулу 21. Имеем

.

Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех промежутках, в которых определены соответствующие функции. Например, формула 2 справедлива для любого промежутка, не содержащего точку ; формула 21 – для интервала () и т.п.

Применяя (16.9), можно написать более сложную таблицу интегралов. Например:

;

, и т.д.

Если первообразная  для функции  является элементарной функцией, то говорят, что интеграл  выражается в элементарных функциях. Однако интеграл от элементарной функции может привести к неэлементарной функции, т.е. функции, которая не выражается через конечное число арифметических действий и суперпозиций элементарных функций. Так, например, известно, что интегралы

  – интеграл Пуассона,

 – интегралы Френеля,

  – интегральный логарифм и сводящийся к нему ,

  , – интегральный синус и конус хотя и существуют, но не выражаются в элементарных функциях.

Искусство интегрирования состоит в умении с помощью свойств неопределенных интегралов преобразовать подынтегральное выражение к табличному, или сначала хотя бы упростить его. Для этого применяются различные методы интегрирования.

Структура общего решения лин. однор. уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения и в случае кратных корней характеристического уравнения. Совокупность n линейно независимых решений лин. однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Найдем точки экстремума функции