История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной графиками данных функций

  Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в направлении оси ОУ, поэтому заменяем двойной интеграл повторным с внутренним интегралом по  у, а внешним – по х. Линией входа в D является прямая , линией выхода – парабола . Вычисляем внутренний интеграл при постоянном  х, применяя формулу Ньютона-Лейбница с нижним пределом  и верхним пределом  Находим точки пересечения параболы и прямой из решения системы

  

 Полученные абсциссы точек пересечения и дают пределы интегрирования во внутреннем интеграле.

 Процесс сведения двойного интеграла к двухкратному сводится к следующему:

Из доказанных свойств интеграла следует, что если $ C_1$и $ C_2$ -- постоянные, то

$\displaystyle \int_a^b(C_1f(x)+C_2g(x))dx=C_1\int_a^bf(x)\;dx+C_2\int_a^bg(x)\;dx.$

Эта формула означает, что операция вычисления определённого интеграла обладает свойством линейности.

Можно также отметить, что тем самым мы доказали, что множество всех интегрируемых на фиксированном отрезке функций является некоторым линейным пространством $ S_{[a;b]}$, то есть операции умножения на постоянный множитель и сложения не выводят результирующую функцию из данного множества, а операция $ I:S_{[a;b]}\to\mathbb{R}$, действующая на элементы $ f\in S_{[a;b]}$по формуле $ I(f)=\int_a^bf(x)\;dx$ -- это линейная операция:

$\displaystyle I(C_1f+C_2g)=C_1I(f)+C_2I(g),$

где $ f,g\in S_{[a;b]}$ -- произвольные функции, а $ C_1,C_2$ -- постоянные.

Докажем теперь свойство определённого интеграла, называемое его аддитивностью. А именно, предположим, что функция $ f(x)$интегрируема на отрезках $ [a;c]$и $ [c;b]$, где $ a<c<b$. Тогда $ f(x)$интегрируема на отрезке $ [a;b]$, причём

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx.$

Структура общего решения лин. однор. уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения и в случае кратных корней характеристического уравнения. Совокупность n линейно независимых решений лин. однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Найдем точки экстремума функции