История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным:

 .

Решение. Найдем границы области интегрирования в декартовых координатах.

Преобразуем 

Преобразуем 

Изобразим область интегрирования:

 Для расстановки пределов интегрирования в полярных координатах учтем, что область D – круговой сектор, ограниченный дугой окружности , уравнение которой с учетом связи декартовых и полярных координат  примет вид т.е. .

D ограничена также лучами  Поэтому требуемый интеграл Iв полярных координатах получится из исходного с помощью связи декартовых и полярных координат и домножения на  подынтегральной функции внутреннего интеграла по , учитывающего искажение элемента площади в полярных координатах. В других примерах для расстановки пределов интегрирования, использовать, по аналогии с декартовыми координатами, рассечение D лучами, выходящими из центра полярной системы координат. Если они пересекутся с границей D не более чем в двух точках, то эта область - правильная по , и пределы в повторном интеграле с внутренним интегралом по  и внешним по   расставляются аналогично расстановке по у и х в случае декартовых координат. 

  Процесс вычисления двухкратного интеграла в полярных координатах после замены пределов интегрирования и подинтегральных выражений сведется к следующему:

.

Докажем теперь, что если $ f(x)$и $ g(x)$ -- интегрируемые на $ [a;b]$функции, то функция $ f(x)+g(x)$тоже интегрируема и имеет место формула

$\displaystyle \int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)\;dx+\int_a^bg(x)\;dx.$

Составим для данного размеченного разбиения $ \Xi$интегральную сумму для функции $ f(x)+g(x)$:

$\displaystyle \wt S_{f+g}(\Xi)=\sum_{i=1}^n(f(\ov x_i)+g(\ov x_i))h_i$

и очевидным образом преобразуем её, раскрыв скобки и переставив слагаемые:

$\displaystyle \wt S_{f+g}(\Xi)=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=1}^ng(\ov x_i))h_i=
\wt S_f(\Xi)+\wt S_g(\Xi),$

где $ \wt S_f$ -- интегральная сумма для функции $ f$, а $ \wt S_g$ -- интегральная сумма для функции $ g$, составленные по тому же размеченному разбиению $ \Xi$. Теперь заметим, что равенство сохранится и после предельного перехода при базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$, а также что предел суммы равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{f+g}(\Xi)=
\li...
...to0}
\wt S_f(\Xi)+
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}
\wt S_g(\Xi).$

По условию, пределы в правой части существуют:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_f(\Xi)
=\int_a^...
...quad
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g(\Xi)=\int_a^bf(x)\;dx.$

Поэтому существует и предел в левой части, причём он равен $ \int_a^bf(x)\;dx+\int_a^bf(x)\;dx.$Осталось заметить, что, по определению, предел левой части даёт $ \int_a^b(f(x)+g(x))dx$. Итак, получили, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой из этих функций.

 

Структура общего решения лин. однор. уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения и в случае кратных корней характеристического уравнения. Совокупность n линейно независимых решений лин. однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Найдем точки экстремума функции