История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

  Решение. При сведении тройного интеграла к трехкратному и в расстановке пределов в каждом из трех определенных интегралов действуем по аналогии со случаем двойного интеграла. Область интегрирования V в примере считаем правильной в направлении оси OZ, т.к. любая прямая, параллельная оси OZ, пересекает границу области не более чем в двух точках. Учитывая, что объем области V выражается в декартовых  координатах формулой

 

а область V ограничена снизу плоскостью z=0, а сверху – поверхностью параболоида вращения z=4-(x2+y2) можно свести тройной интеграл к вычислению двойного интеграла от однократного:

 

 

 Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменному z с нижним пределом z=0 и верхним пределом z=4-(x2+y2).  Областью интегрирования D во внешнем двойном интеграле является проекция тела  V на плоскость XOY, имеющая вид:

  Линия входа в эту область y=0, линия выхода .  Проекцией области D на ось OX служит отрезок . Отсюда следует, что во внутреннем интеграле по у нижний предел 0, верхний предел , а во внутреннем интеграле по х нижний предел 0, а верхний предел . В итоге объем V вычисляется с помощью трехкратного интеграла следующим образом:

=

.

Действительно, если при фиксированном размеченном разбиении составить интегральную сумму $ \wt S_{kf}(\Xi)$для функции $ kf(x)$, значения которой в точках разметки равны $ kf(\ov x_i)$, то можно будет вынести постоянный множитель $ k$за знак конечной суммы по номеру отрезка $ i$:

$\displaystyle \wt S_{kf}(\Xi)=\sum_{i=1}^nkf(\ov x_i)h_i=k\cdot
\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i=k\cdot\wt S_f(\Xi),$

где $ S_f(\Xi)$ -- интегральная сумма для функции $ f$, вычисленная по тому же размеченному разбиению $ \Xi$. При измельчении разбиения, то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$, левая часть равенства даёт

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{kf}(\Xi)=\int_a^bkf(x)\;dx,$

а правая часть --

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}k\wt S_{kf}(\Xi)=
k\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{kf}(\Xi)=
k\int_a^bkf(x)\;dx,$

причём из существования предела в правой части следует существование предела в левой. Здесь мы воспользовались тем, что постоянный множитель можно выносить за знак предела. Поскольку при переходе к пределу равенство сохранится, мы получим доказываемую формулу.

Структура общего решения лин. однор. уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения и в случае кратных корней характеристического уравнения. Совокупность n линейно независимых решений лин. однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Найдем точки экстремума функции