История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача . 1) Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

 где

Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L. Если L задана уравнением  где функция  имеет непрерывную производную   для , то

 

Если L задана параметрически:  где функции имеют непрерывные производные , для  то

 

Если L задана в полярных координатах уравнением   и функция имеет непрерывную производную  для , то

 

В рассмотренном примере используется явное задание кривой L уравнением . Поэтому, используя первый способ сведения интеграла по длине дуги к определенному, получим:

Вычислить работу силы  при перемещении материальной точки по кривой  от точки А(0;0) до точки В(1;1).

Решение.  Работа переменной силы  по перемещению материальной точки по плоской кривой L c уравнением  вычисляется с помощью криволинейного интеграла 2-го рода по координатам

 

который сводится к определенному интегралу с учетом способа задания кривой L. В приведенном примере кривая L задана явно уравнением . Поэтому, по аналогии с переходом к определенному интегралу в предыдущем примере, достаточно заменить:

.  Получим:

На основании этой теоремы можно доказать следующую теорему.

Теорема 16.4. Всякий многочлен  степени  может быть представлен в виде произведения  линейных множителей вида  и коэффициента  при старшей степени , т.е.

.  (6.32)

□ Действительно, по теореме 16.3 многочлен (16.30) имеет хотя бы один корень, например, . Тогда по теореме 16.2 имеет место соотношение (16.31). А так как  – также многочлен, то он имеет корень, например, . Тогда

.

Продолжая этот процесс, получим 16.32. <

Если среди корней многочлена , , …,  какой-либо корень встретился  раз, то он называется корнем кратности . При  корень называется простым. Собирая вместе множители, соответствующие одинаковым корням, разложение (16.32) можно записать в виде:

, (6.33)

где все корни , , …,  различны и .

Так, например, многочлен  имеет следующие корни:  – кратности 4;  – кратности 2;  – простой корень.

Из формулы (16.33) следует, что всякий многочлен -й степени имеет ровно  корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Структура общего решения лин. однор. уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения и в случае кратных корней характеристического уравнения. Совокупность n линейно независимых решений лин. однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Найдем точки экстремума функции