История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Задание.  Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

а) ;

б) .

Решение.

а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.

, следовательно

, следовательно   - полюс.

Так как , то  - полюс порядка .

.

Таким образом, .

б). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

Так как   и  - полюсы первого порядка, то для вычисления вычетов применим формулу, где , .

Таким образом, .

Признаки сравнения для неотрицательных функций. Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Ввиду того, что принципиальная сторона вопроса изучена на случае интегралов первого рода, кратко перечислим основные факты. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования.
Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку и при x > a удовлетворяют неравенствам . Тогда:
если сходится интеграл , то сходится интеграл ;
если расходится интеграл , то расходится интеграл
В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа . Этот интеграл сходится, если p < 1, и расходится, если :

 Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: Если члены функционального рада  в некотором промежутке Е не превосходит по абс величине соотв членов сход числового ряда с положительными членами, т.е. если для всех , то данный ряд сходится в этом промежутке равномерно.
наибольшее и наименьшее значение функции