История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача . а) Вычислить площадь части сферы , вырезанной цилиндром  и плоскостью 

Решение. Область D является кругом (рис.2), поэтому решаем задачу в полярных координатах. Тогда Элемент площади плоской области dS выражается в полярных координатах в виде: . Полярное уравнение окружности, ограничивающей область интегрирования, будет иметь вид:

.  Так как область интегрирования содержит начало полярной системы точку О на своей границе, то вычисляем площадь поверхности  с помощью поверхностного интеграла 1-го рода:

Рис. 1 Рис. 2

б) Найти поверхностный интеграл 2-го рода  где замкнутая поверхность  состоит из внешней стороны части поверхности параболоида  а также из части плоскости

Решение. Применяем формулу Остроградского-Гаусса к поверхностному интегралу 2-го рода I:

В векторной форме формула Остроградского-Гаусса имеет вид: 

 

где в левой части – поток П векторного поля  через замкнутую поверхность а

 

Но тогда  где векторное поле  имеет вид: 

  Но  

Рис. 3.

 Следовательно,  

Теорема 16.5. Два многочлена вида (16.30) тождественно равны тогда и только тогда, когда коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Теорема 16.6. Если многочлен  с действительными коэффициентами имеет комплексный корень  кратности , то сопряженное комплексное число   также является корнем многочлена той же кратности.

Перемножим эти два множителя, соответствующие сопряженным корням:

,

где , .

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.

На основании вышеизложенного всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующей форме:

, (6.34)

где .

В этом разложении линейные множители соответствуют действительным корням, а квадратные трехчлены – комплексным корням многочлена.

Структура общего решения лин. однор. уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения и в случае кратных корней характеристического уравнения. Совокупность n линейно независимых решений лин. однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Найдем точки экстремума функции