Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части видаКратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.
Задача. а) Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями
![]()
Решение. Считаем плотность однородной пластины
Тогда ее статические моменты относительно осей ОХ и ОУ определяются формулами:
, а координаты ее центра тяжести
определяются формулами:
, где
- масса однородной пластины D с плотностью
Применяя эти формулы, получаем:
,
Тогда
.
б) Доказать, что работа силы
зависит только от начального и конечного положения точки ее приложения и не зависит от формы пути. Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из
в
Решение. Проверяем условие, достаточное для того, чтобы работа силы
по перемещению точки по дуге
не зависела от формы пути:
,
, то есть
.
При этом функции
непрерывны в любой односвязной области D, содержащей
Тогда, для вычисления работы А =
находим криволинейный интеграл 2-го рода
В силу независимости этого интеграла от пути интегрирования вычислим его вдоль ломаной
где точка
:
Тогда
При вычислении криволинейного интеграла 2-го рода по
меняется от 0 до 1,
а при вычислении аналогичного интеграла по
а
меняется от 0 до 1.
Теорема 3.8 Пусть интегрируемые на отрезке
функции
и
таковы, что
при всех
. Тогда
Доказательство. Рассмотрим любое размеченное разбиение
. Для любой точки разметки
, лежащей на отрезке разбиения
длины
, согласно предположению, выполнено неравенство
и, следовательно, неравенство
, поскольку
. Суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем
то есть интегральные суммы
и
, построенные, соответственно, для функций
и
по любому размеченному разбиению
, связаны тем же знаком неравенства, что и данные функции. Поскольку переход к пределу по базе
сохранит знак неравенства, согласно одному из свойств пределов, то получаем, что
что и требовалось доказать.
Следствие 7.1 Пусть на отрезке
задана интегрируемая функция
, причём для всех
имеет место неравенство
, где
и
-- некоторые постоянные. Тогда
(7.4)
Доказательство. Действительно, из предыдущей теоремы следует, что
Выше мы уже замечали, что для любой постоянной
откуда
и
что и доказывает утверждение следствия.
Из этого следствия выводится следующая теорема, которая носит название теоремы о среднем: