История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача. а) Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями  

Решение. Считаем плотность однородной пластины  Тогда ее статические моменты относительно осей ОХ и ОУ определяются формулами: , а координаты ее центра тяжести  определяются формулами: , где  - масса однородной пластины D с плотностью   Применяя эти формулы, получаем:

,

  Тогда .

б) Доказать, что работа силы  зависит только от начального и конечного положения точки ее приложения и не зависит от формы пути. Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из  в

Решение. Проверяем условие, достаточное для того, чтобы работа силы  по перемещению точки по дуге  не зависела от формы пути:

 ,

 , то есть .

При этом функции  непрерывны в любой односвязной области D, содержащей

Тогда, для вычисления работы А = находим криволинейный интеграл 2-го рода

  В силу независимости этого интеграла от пути интегрирования вычислим его вдоль ломаной  где точка :

Тогда

При вычислении криволинейного интеграла 2-го рода по  меняется от 0 до 1,  а при вычислении аналогичного интеграла по  а  меняется от 0 до 1.

  Теорема 3.8   Пусть интегрируемые на отрезке $ [a;b]$функции $ f(x)$и $ g(x)$таковы, что $ f(x)\leqslant g(x)$при всех $ x\in[a;b]$. Тогда

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bg(x)\;dx.$

        Доказательство.     Рассмотрим любое размеченное разбиение $ \Xi=(X,\ov X)$. Для любой точки разметки $ \ov x_i$, лежащей на отрезке разбиения $ [x_{i-1};x_i]$длины $ h_i$, согласно предположению, выполнено неравенство $ f(\ov x_i)\leqslant g(\ov x_i)$и, следовательно, неравенство $ f(\ov x_i)h_i\leqslant g(\ov x_i)h_i$, поскольку $ h_i>0$. Суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем

$\displaystyle \wt S_f=\sum\limits_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i\leqslant \sum\limits_{i=1}^ng(\ov x_i)h_i=
\wt S_g,$

то есть интегральные суммы $ \wt S_f$и $ \wt S_g$, построенные, соответственно, для функций $ f$и $ g$по любому размеченному разбиению $ \Xi$, связаны тем же знаком неравенства, что и данные функции. Поскольку переход к пределу по базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$сохранит знак неравенства, согласно одному из свойств пределов, то получаем, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...qslant
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g=
\int_a^bg(x)\;dx,$

что и требовалось доказать.     

        Следствие 7.1   Пусть на отрезке $ [a;b]$задана интегрируемая функция $ f(x)$, причём для всех $ x\in[a;b]$имеет место неравенство $ m\leqslant f(x)\leqslant M$, где $ m$и $ M$ -- некоторые постоянные. Тогда

$\displaystyle m(b-a)\leqslant \int_a^bf(x)\;dx\leqslant M(b-a).$

(7.4)



        Доказательство.     Действительно, из предыдущей теоремы следует, что

$\displaystyle \int_a^bm\;dx\leqslant \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bM\;dx.$

Выше мы уже замечали, что для любой постоянной $ C$

$\displaystyle \int_a^bC\;dx=C(b-a),$

откуда $ \int_a^bm\;dx=m(b-a)$и $ \int_a^bM\;dx=M(b-a),$что и доказывает утверждение следствия.     

Из этого следствия выводится следующая теорема, которая носит название теоремы о среднем:

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части вида , где Pn(x) – многочлен.
Найдем точки экстремума функции