История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

Задача а) Найти величину и направление наибольшего изменения поля   в точке

Решение. Доказано  (см. [1], [2], [5], [6]), что скалярное поле U(M) имеет в данной точке М0 максимальную производную по направлению , которая равна модулю градиента поля U в этой точке:

 

если за вектор , указывающий направление дифференцирования, взять направление вектора gradU(M0). Поэтому в задаче требуется найти сам вектор

 

Приведем соответствующие вычисления:

  ,

 ,

 ,

 

б) Выяснить, является ли векторное поле  потенциальным.

Решение. Векторное поле  потенциально, если в каждой точке М из области определения поля  Находим 

В этой формуле для удобства запоминания метода вычисления ротора использован формальный оператор Гамильтона «набла»:

 ,

действующий по правилу нахождения векторного  произведения в прямоугольных декартовых координатах.

 Для других типов полей, исследуемых в задании 8, приведем их определения:

Соленоидальное поле  в каждой точке М области V удовлетворяет условию

  .

Гармоническое поле  является в каждой точке области V одновременно потенциальным и соленоидальным, то есть  и 

В нашем случае  Тогда

  следовательно, поле  не является потенциальным.

     Теорема 3.7   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную на отрезке $ [a;b]$. Пусть отрезок $ [a;b]$можно разбить на конечное число частей $ [a_j;b_j]$, $ j=0,1,2,\dots,m$, $ a_j=b_{j-1}$при $ j=0,1,\dots,m-1$, так что в пределах каждой из частей функция непрерывна либо монотонна на интервале $ (a_j;b_j)$, а в точках $ a_j=b_{j-1}$либо непрерывна, либо имеет разрывы первого рода. Тогда функция $ f(x)$интегрируема на $ [a;b]$.

        Доказательство.     Согласно свойству аддитивности ( замечание 7.2), достаточно доказать, что функция $ f(x)$интегрируема на каждом из замкнутых отрезков $ [a_j;b_j]$. Фиксировав такой отрезок, переопределим, если нужно, функцию $ f(x)$в двух точках $ a_j$и $ b_j$, положив её равной соответственно $ f(a_j)=\lim\limits_{x\to a_j+}f(x)$и $ f(b_j)=\lim\limits_{x\to b_j-}f(x)$; по условию теоремы, оба этих предела существуют. Тогда "исправленная" функция либо непрерывна, либо монотонна на всём отрезке $ [a_j;b_j]$и, следовательно, интегрируема на $ [a_j;b_j]$, согласно теоремам 7.3 и 7.4. Но тогда исходная функция, отличающаяся от "исправленной" только лишь, возможно, в двух точках, тоже интегрируема на $ [a_j;b_j]$, согласно замечанию 7.1. Этим завершается доказательство теоремы.     

Следующее свойство свидетельствует о том, что при интегрировании сохраняется знак неравенства.

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части вида , где Pn(x) – многочлен.
Найдем точки экстремума функции