История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

а) .

Решение. Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель:, разнесем слагаемые: ; выражая  из полученного уравнения убедимся в том, что и, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные. .

Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным: .

Получим , .

Таким образом, мы убедились в том, что  - общий интеграл заданного уравнения.

Ответ: .

б).

Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на x.

- Убедимся в том, что производная  в представленном уравнении зависит только от отношения , то есть и, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем решать его с помощью соответствующей замены.

Введем новую переменную .

;

;

; проинтегрируем выражение

;

;

;

;

  - общее решение уравнения.

Ответ: .

   Замечание 7.2   Добавляя отрезки по одному, мы получаем такое утверждение: если отрезки $ [a_0;b_0],\ [a_1;b_1],\ \dots,\ [a_m;b_m]$расположены на оси $ Ox$один за другим, то есть $ b_0=a_1$, ..., $ b_{m-1}=a_m$, и функция $ f(x)$интегрируема на объединении отрезков $ [a_j,b_j]$, $ j=0,\dots,m$, то есть на $ [a_0;b_m]$, то она интегрируема на каждом из частичных отрезков $ [a_j;b_j]$, причём

$\displaystyle \int_{a_0}^{b_m}f(x)\;dx=\sum_{j=0}^m\int_{a_j}^{b_m}f(x)\;dx.$

Это равенство также выражает свойство аддитивности определённого интеграла, применительно к разбиению отрезка на конечное число частей.     

Аддитивность в сочетании с утверждением теорем об интегрируемости монотонной и непрерывной функций даёт следующее предложение.

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части вида , где Pn(x) – многочлен.
Найдем точки экстремума функции