История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

в).

Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

;

;

;

;

;

;

;

;

;

- общее решение уравнения.

Ответ: .

      Теорема 7.6   Из интегрируемости функции $ f(x)$на отрезке $ [a;b]$следует, что она интегрируема и на любом отрезке $ [a';b']\sbs[a;b]$.

        Доказательство.     Рассмотрим для любого разбиения $ X$отрезка $ [a;b]$то разбиение $ X'$отрезка $ [a';b']$, которое получается, если включить в $ X'$те точки из $ X$, которые попадают на отрезок $ [a';b']$. Если $ \ul S(X')$и $ \ov S(X')$ -- нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие $ X'$, то легко видеть, что

$\displaystyle 0\leqslant \ov S(X')-\ul S(X')\leqslant \ov S(X)-\ul S(X).$

Поэтому если функция интегрируема на $ [a;b]$, то есть суммы $ \ov S(X)$и $ \ul S(X)$имеют общий предел при измельчении разбиения, то и суммы $ \ov S(X')$и $ \ul S(X')$будут иметь общий предел, так как их разность стремится к 0, причём $ \ov S(X')$не увеличиваются, а $ \ul S(X')$не уменьшаются при добавлении дополнительных точек для измельчения разбиения. Наличие общего предела у $ \ov S(X')$и $ \ul S(X')$означает интегрируемость $ f(x)$на $ [a';b']$.     

Вследствие доказанной теоремы мы можем теперь освободиться в теореме об аддитивности интеграла от требования, чтобы функция была интегрируема на каждом из двух отрезков $ [a;c]$и $ [c;b]$, на которые разбивается отрезок $ [a;b]$: интегрируемость на этих двух отрезках автоматически следует из интегрируемости на $ [a;b]$. Более того, справедливо следующее замечание.

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части вида , где Pn(x) – многочлен.
Найдем точки экстремума функции