История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение.  - неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения  и частного решения неоднородного уравнения , которое будем искать по виду правой части. Начнем с отыскания .

  Составим характеристическое уравнение:  .

Следовательно, общее решение однородного уравнения: .

  будем искать в виде . - частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислим А. .

. Значит . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения . Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий:

; ;

;

Ответ: .

Действительно, рассмотрим какое-либо размеченное разбиение отрезка $ [a;b]$, содержащее в качестве одной из точек деления точку $ c=x_m$. Тогда, очевидно, интегральная сумма $ \wt S$для $ f$по отрезку $ [a;b]$представляется в виде

$\displaystyle \wt S=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$

причём первая сумма,

$\displaystyle \wt S_1=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i,$

является интегральной суммой для $ f$по отрезку $ [a;c]$, соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_1$, заданному точками $ x_1,\dots,x_{m-1}$и $ \ov x_1,\dots,\ov x_m$, а вторая,

$\displaystyle \wt S_2=\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$--

интегральной суммой по отрезку $ [c;b]$, соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_2$, заданному точками $ x_{m+1},\dots,x_{n-1}$и $ \ov x_{m+1},\dots,\ov x_n$. Заметим еще, что при $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)=\max\limits_{i=1,\dots,m}h_i\to0}$и $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)=\max\limits_{i=m+1,\dots,n}h_i\to0}$будет также $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\limits_{i=1,\dots,n}h_i\to0}$, так как, очевидно, $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1);\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\}}$. Так что при измельчении разбиений отрезков $ [a;c]$и $ [c;b]$разбиение отрезка $ [a;b]$также будет измельчаться, и наоборот, из условия $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$следует, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)\to0$и $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\to0$. Поэтому

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...iam}\nolimits (\Xi_2)\to0}\wt S_2(\Xi_2)=
\int_a^cf(x)\;dx+
\int_c^bf(x)\;dx.$

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части вида , где Pn(x) – многочлен.
Найдем точки экстремума функции