История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание . Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:

  и заменим  воспользовавшись для этого вторым уравнением системы:

. Окончательно .

- однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, решение: . Из первого уравнения , поэтому ;

.

Ответ: ; .

Механический смысл производной второго порядка. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону , где  – путь, пройденный точкой за время . Выше было установлено, что производная  равна скорости точки в данный момент времени, т.е. , где скорость  этого движения является некоторой функцией времени : .

Пусть в момент времени  скорость точки равна , а в момент времени  – скорость равна . Тогда за промежуток времени  скорость изменится на величину .

Отношение  выражает среднее ускорение движения точки за время . Предел этого отношения при  называется ускорением точки М в данный момент времени  и обозначается буквой :

.

Так как , то можно записать

.

Таким образом, с механической точки зрения вторая производная от пути по времени есть ускорение в этой точке.

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части вида , где Pn(x) – многочлен.
Найдем точки экстремума функции