История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание. Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Решение. Пусть  искомое уравнение кривой. Проведем касательную MN в произвольной точке M(x;y) кривой до пересечения с осью Оу в точке N. Согласно условию, должно выполняться равенство, но , а  найдем из уравнения , полагая X=0, то есть.

Итак, приходим к однородному уравнению .

Полагая y=tx (y’=t’x+t), получим  или , откуда  – данное решение представляет собой семейство парабол, осью которых является ось Оу.

Определим значение константы С исходя из того, что кривая проходит через точку . Подставляя координаты заданной точки в вышенайденное общее решение, получим ; из двух значений С=0 и С=2 нас устраивает лишь второе, так как при С=0 парабола оказывается вырожденной. Итак, искомое решение , или .

Ответ: .

Производные высших порядков неявно заданной функции. Пусть функция   задана неявно в виде уравнения .

Продифференцировав это уравнение по , считая  функцией от , и разрешив полученное уравнение относительно , найдем производную первого порядка. Как правило, она будет зависеть от  и : .

Вторую производную  от неявной функции получим, дифференцируя функцию   по переменной  и помня при этом, что  есть функция от :

.

Заменяя здесь  через , получим выражение второй производной через  и :

.

Аналогично и все высшие производные от неявной функции можно выразить только через   и : каждый раз, когда при дифференцировании появляется производная , ее следует заменить на .

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части вида , где Pn(x) – многочлен.
Найдем точки экстремума функции