История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание

а) Найти общее решение дифференциального уравнения *.

 Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

 Ответ. .

б) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то замена   позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

;

. Учтя, что  – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить: .

Ответ. .

в) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной , откуда , так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид: . Решение  является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем: . Оставшееся уравнение  является уравнением в разделяющихся переменных: . Интегрируя последнее равенство, получим . Выразим теперь функцию : . Делая вновь обратную замену , получим: . В данном уравнении можно разделить переменные: . Интегрируя последнее выражение, получим . Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения.

Ответ. ; .

Дифференциалы высших порядков. Пусть функция  имеет производную -го порядка на некотором промежутке. Дифференциал этой функции  является функцией независимой переменной , определенной на рассматриваемом промежутке. Так как  не зависит от , то при дифференцировании  считается постоянным: .

Дифференциал от дифференциала функции  называется ее дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) и обозначается  (“дэ два игрек”) или .

Итак, по определению , откуда учитывая выражение дифференциала функции, запишем:

.  (14.60)

Дифференциалом третьего порядка функции  называется дифференциал от дифференциала второго порядка этой функции. По определению

Вообще, по определению дифференциалом -го порядка функции  называется дифференциал от дифференциала -го порядка, т.е.

Отсюда находим, что . В частности, при  соответственно получим:

,

т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части вида , где Pn(x) – многочлен.
Найдем точки экстремума функции