История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание. Решить уравнение .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка . Так как корнями соответствующего характеристического уравнения  являются числа , то общее решение данного уравнения, как известно, имеет вид . Правая часть исходного уравнения  не позволяет найти частное решение  неоднородного уравнения методом подбора (или неопределенных коэффициентов) поэтому воспользуемся для его нахождения методом вариации произвольных постоянных. Поэтому будем искать частное решение   в виде: , предполагая, что здесь  и  (мы воспользовались видом найденной фундаментальной системы решений однородного уравнения), а  и решения следующей системы дифференциальных уравнений:

  таким образом .

Из второго уравнения выпишем . Проинтегрировав, получим  (постоянную интегрирования будем полагать равной нулю). Теперь, подставляя значение  в первое уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции : . Вновь интегрируя, запишем: .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид , выпишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Ответ. .

Формулы для -х производных некоторых функций.

1) Вычислим -ю производную степенной функции , , . Последовательно дифференцируя, имеем:

; ; … ;

.  (5.9)

В частности, если , где , то получим

 при .

2) Вычислим -ю производную показательной функции ,  и . Последовательно дифференцируя, имеем:

; ; … ;

.  (5.10)

В частности, если , то

.  (5.11)

3) Вычислим -ю производную функции . Последовательно дифференцируя, имеем (СР 7):

;

…………………………..… ;

.  (5.12)

4) Аналогично можно получить формулу -й производной функции :

.  (5.13)

Однако далеко не для всякой функции удается найти общие формулы для их -х производных.

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части вида , где Pn(x) – многочлен.
Найдем точки экстремума функции